Οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης: αλγεβρική και γεωμετρική έννοια

Στην άλγεβρα, η εξίσωση του δεύτερουτάξη. Με την εξίσωση εννοείται μια μαθηματική έκφραση που έχει ένα ή περισσότερα άγνωστα στοιχεία στη σύνθεσή της. Μια εξίσωση δεύτερης τάξης είναι μια μαθηματική εξίσωση που έχει τουλάχιστον ένα τετράγωνο στον άγνωστο βαθμό. Η τετραγωνική εξίσωση είναι της δεύτερης τάξης, η εξίσωση μειώνεται με τη μορφή μίας ταυτότητας ίσης με το μηδέν. Η επίλυση της εξίσωσης είναι τετραγωνική σημαίνει το ίδιο με τον προσδιορισμό των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης. Μια τυπική τετραγωνική εξίσωση στη γενική μορφή:

W * c ^ 2 + Τ * c + 0 = 0

όπου W, T είναι οι συντελεστές των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης.

Ο είναι ο ελεύθερος συντελεστής.

c είναι η ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης (πάντα έχει δύο τιμές των c1 και c2).

Όπως αναφέρθηκε ήδη, το πρόβλημα της επίλυσης της τετραγωνικής εξίσωσης εντοπίζει τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης. Για να τα βρούμε, είναι απαραίτητο να βρούμε τις διακρίσεις:

Ν = Τ ^ 2 - 4 * W * O

Το διακριτικό είναι απαραίτητο για την επίλυση του τύπου για την εύρεση της ρίζας c1 και c2:

c1 = (-T + √N) / 2 * W και c2 = (-T-√N) / 2 * W

Εάν σε μια τετραγωνική εξίσωση γενικής μορφής ο συντελεστής στη ρίζα Τ έχει πολλαπλή τιμή, τότε η εξίσωση αντικαθίσταται από:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Και οι ρίζες του μοιάζουν με μια έκφραση:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W και c2 = [-U - √ (U ^

Συχνά η εξίσωση μπορεί να έχει μια ελαφρώς διαφορετική μορφή όταν το c_2 μπορεί να μην έχει τον συντελεστή W. Στην περίπτωση αυτή, η παραπάνω εξίσωση έχει τη μορφή:

c ^ 2 + F * c + L = 0

όπου F είναι ο συντελεστής στη ρίζα.

L είναι ο ελεύθερος συντελεστής.

c είναι η ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης (πάντα έχει δύο τιμές των c1 και c2).

Αυτό το είδος εξίσωσης ονομάζεται τετράγωνοη εξίσωση μειώνεται. Το όνομα «μειωμένη» πήγε από τον τύπο ενεργοποιήσεως τυπικά τετραγωνική εξίσωση, εάν ο συντελεστής W ρίζας έχει μια τιμή του ενός. Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] και c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

Στην περίπτωση μιας ομαλής τιμής του συντελεστή στη ρίζα του F, οι ρίζες θα έχουν μια λύση:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F-√ (F ^ 2-L)

Αν μιλάμε για τετραγωνικές εξισώσεις, τότε θα πρέπει να θυμηθούμε και το θεώρημα του Vieta. Λέει ότι για την μειωμένη τετραγωνική εξίσωση υπάρχουν οι ακόλουθες κανονικοποιήσεις:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F και c1 * c2 = L

Στην γενική τετραγωνική εξίσωση, οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης σχετίζονται με τις εξαρτήσεις:

W * c ^ 2 + Τ * c + 0 = 0

c1 + c2 = -T / W και c1 * c2 = O / W

Τώρα εξετάζουμε τις πιθανές παραλλαγές των τετραγωνικών εξισώσεων και τις λύσεις τους. Μπορεί να υπάρχουν δύο συνολικά, επειδή αν δεν υπάρχει όρος c_2, τότε η εξίσωση δεν θα είναι πλέον τετράγωνη. Επομένως:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 Παραλλαγή της τετραγωνικής εξίσωσης χωρίς ελεύθερο συντελεστή (όρος).

Η λύση είναι:

W * c ^ 2 = -Τ * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 Η παραλλαγή της τετραγωνικής εξίσωσης χωρίς τον δεύτερο όρο, όταν οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσες σε απόλυτη τιμή.

Η λύση είναι:

W * c ^ 2 = -Ο

c1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Όλα αυτά ήταν άλγεβρα. Εξετάστε το γεωμετρικό νόημα που έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Η εξίσωση δεύτερης τάξης στη γεωμετρία περιγράφει τη λειτουργία parabola. Για τους μαθητές γυμνασίου, το πρόβλημα είναι συχνά πώς να βρούμε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης; Αυτές οι ρίζες της εξίσωσης δίνουν μια ιδέα για το πώς το γράφημα της συνάρτησης (parabola) τέμνει τον άξονα των συντεταγμένων-τετμημένες. Εάν, επιλύοντας την τετραγωνική εξίσωση, έχουμε μια παράλογη λύση των ριζών, τότε δεν θα υπάρχει διασταύρωση. Εάν η ρίζα έχει μια φυσική τιμή, τότε η συνάρτηση διασχίζει τον άξονα της τετμημένης σε ένα μέρος. Εάν δύο ρίζες, τότε, αντίστοιχα, - δύο σημεία τομής.

Πρέπει να σημειωθεί ότι κάτω από την παράλογη ρίζασημαίνει μια αρνητική τιμή κάτω από τη ρίζα, όταν βρίσκει τις ρίζες. Το φυσικό νόημα είναι οποιαδήποτε θετική ή αρνητική τιμή. Στην περίπτωση που βρεθεί μόνο μία ρίζα, εννοείται ότι οι ρίζες είναι ίδιες. Ο προσανατολισμός της καμπύλης στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μπορεί επίσης να προσδιοριστεί προκαταρκτικά από τους συντελεστές των ριζών W και T. Αν το W έχει θετική τιμή, τότε και οι δύο κλάδοι της παραβολής έχουν ανοδική κατεύθυνση. Αν το W έχει αρνητική τιμή, τότε - προς τα κάτω. Επίσης, αν ο συντελεστής Β έχει θετικό πρόσημο, ενώ το W είναι επίσης θετικό, τότε η κορυφή της συνάρτησης parabola είναι μέσα στο άκρο "y" από "-" άπειρο έως "+", "c" από το άθροισμα του άπειρου στο μηδέν. Εάν το Τ είναι μια θετική τιμή και το W είναι μια αρνητική τιμή, τότε στην άλλη πλευρά του τεταγμένου άξονα.